どちらも「はな」と言いますが、鼻汁のことは漢字では「洟」と書き、器官の「鼻」とは区別します。ただ、洟が常用漢字表外の字なので新聞記事では「はな」と平仮名で表記します。
「はなをすする」も、やはり鼻汁なので平仮名です。
他に「はな垂れ小僧」「はなも引っ掛けない」なども平仮名になります。
使い分け
はな
鼻〔器官〕
鼻息が荒い、鼻が高い、鼻にかける、鼻水
はな←(洟)〔鼻汁〕
はな垂れ小僧、はなも引っ掛けない、はなをかむ、はなをすする