「イッシンに打ち込む」という場合の「イッシンに」は、「心を一つに集中させるさま」（明鏡国語辞典）という意味の副詞で「一心に」と表記します。「一身」は「一つの体。全身。また、自分自身。自分のすべて」で「責任を一身に背負う」のように使われます（同）。
使い分け
いっしん
一心〔こころ〕一心同体、一心に祈る、一心不乱
一身〔身体、自身〕一身をささげる、同情を一身に集める
毎日新聞 校閲センター
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