「おどる」「おどらされる」という場合、「踊り子」「盆踊り」「人に踊らされる」など、舞踊や揺れ動くさまを表す時は「踊」を使います。「躍り上がって喜ぶ」「小躍り」「胸が躍る」など、跳躍や躍動を示す場合は「躍」になります。
本命に「躍り出る」は、「急に目立つ地位や場所に登場する」(明鏡国語辞典3版)という意味なので「躍」が適切。「踊り出る」だとダンスをしながら登場するような感じがします。
使い分け
おどる
踊〔舞踊、揺れ動く〕
踊り子、踊り場、バブル経済に踊る、人に踊らされる、笛吹けども踊らず、盆踊り・阿波踊りなど
踊り子、踊り場、バブル経済に踊る、人に踊らされる、笛吹けども踊らず、盆踊り・阿波踊りなど
躍〔跳躍、躍動〕
躍り上がって喜ぶ、小躍りする、首位に躍り出る、見出しが躍る、胸が躍る
躍り上がって喜ぶ、小躍りする、首位に躍り出る、見出しが躍る、胸が躍る