「親近感がわいた」。「沸」は「感情が高ぶる。熱狂して騒ぎたてる」、「湧」は「ある考えや感情が生じる。ある現象が急に多く現れる」など（大辞泉）。この場合、親近感はもともとなかったところに生じるという感じです。「親近感が湧いた」がよいでしょう。
使い分け
わく
沸〔沸騰〕
お湯が沸き立つ、議論が沸く、場内が沸く、人気が沸く、風呂・観衆を沸かす
湧〔わき出る〕
温泉が湧く、雲が湧き立つ、実感が湧く、石油が湧く、血湧き肉躍る、拍手が湧く、降って湧いた災難、勇気が湧く
